Question

【題目】設 （a，b為實常數）．
（1）當a=b=1時，證明：f（x）不是奇函數；
（2）設f（x）是奇函數，求a與b的值；
（3）當f（x）是奇函數時，研究是否存在這樣的實數集的子集D，對任何屬于D的x、c，都有f（x）＜c2﹣3c+3成立？若存在試找出所有這樣的D；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：舉出反例即可． ， ， ，

所以f（﹣1）≠﹣f（1），f（x）不是奇函數

（2）解：f（x）是奇函數時，f（﹣x）=﹣f（x），即 對定義域內任意實數x成立．

化簡整理得（2a﹣b）22x+（2ab﹣4）2x+（2a﹣b）=0，這是關于x的恒等式，所以 所以 或 ． 經檢驗都符合題意

（3）解：當 時， ，

因為2x＞0，

所以2x+1＞1， ，從而 ；

而 對任何實數c成立；

所以可取D=R對任何x、c屬于D，都有f（x）＜c2﹣3c+3成立．

當 時， ，

所以當x＞0時， ；

當x＜0時， ；

1）因此取D=（0，+∞），對任何x、c屬于D，都有f（x）＜c2﹣3c+3成立．當c＜0時，c2﹣3c+3＞3，解不等式 得： ．

所以取 ，對任何屬于D的x、c，都有f（x）＜c2﹣3c+3成立

【解析】（1）舉出反例即可，只要檢驗f（﹣1）≠﹣f（1），可說明f（x）不是奇函數；（2）由題意可得f（﹣x）=﹣f（x），即 對定義域內任意實數x成立．整理可求a，b（3）當 時， ，由指數函數的性質可求f（x），由二次函數的性質可求 ，可求 當 時， ，當x＞0時， ；當x＜0時， ，結合二次函數的性質可求c2﹣3c+3的范圍，即可求解
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的奇偶性的相關知識，掌握偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．