Question

已知動圓P與圓F₁：（x+3）²+y²=81相切，且與圓F₂：（x-3）²+y²=1相內切，記圓心P的軌跡為曲線C；設Q為曲線C上的一個不在x軸上的動點，O為坐標原點，過點F₂作OQ的平行線交曲線C于M，N兩個不同的點．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）試探究|MN|和|OQ|²的比值能否為一個常數？若能，求出這個常數；若不能，請說明理由；
（Ⅲ）記△QF₂M的面積為S₁，△OF₂N的面積為S₂，令S=S₁+S₂，求S的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：

分析：（I）設圓心P的坐標為（x，y），半徑為R，由已知條件推導出|PF₁|+|PF₂|=8＞|F₁F₂|=6，從而圓心P的軌跡為以F₁，F₂為焦點的橢圓，由此能求出圓心P的軌跡C的方程．
（II）設直線OQ：x=my，則直線MN：x=my+3，由

x=my x2 16 + y2 7 =1

，能求出|OQ|²，由

x=my+3 x2 16 + y2 7 =1

，能求出|MN|，由此能求出|MN|和|OQ|²的比值為常數

1

2

．
（III）由△QF₂M的面積=△OF₂M的面積，能求出S=S₁+S₂的最大值．

解答： （本小題滿分13分）
解：（I）設圓心P的坐標為（x，y），半徑為R
由于動圓P與圓F1：(x+3)2+y2=81相切，
且與圓F2：(x-3)2+y2=1相內切，所以動
圓P與圓F1：(x+3)2+y2=81只能內切
∴

|PF1|=9-R |PF2|=R-1

，∴|PF₁|+|PF₂|=8＞|F₁F₂|=6…（2分）
∴圓心P的軌跡為以F₁，F₂為焦點的橢圓，其中2a=8，2c=6，
∴a=4，c=3，b²=a²-c²=7
故圓心P的軌跡C：

x2

16

+

y2

7

=1．…（4分）
（II）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₃，y₃），
直線OQ：x=my，則直線MN：x=my+3
由

x=my x2 16 + y2 7 =1

，得：

x2= 112m2 7m2+16 y2= 112 7m2+16

，∴

x32= 112m2 7m2+16 y32= 112 7m2+16

，
∴|OQ|2=x32+y32=

112m2

7m2+16

+

112

7m2+16

=

112(m2+1)

7m2+16

…（6分）
由

x=my+3 x2 16 + y2 7 =1

，得：（7m²+16）y²+42my-49=0，
∴y1+y2=-

42m

7m2+16

，y1y2=-

49

7m2+16

，
∴|MN|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

[(my2+3)-(my1+3)]2+(y2-y1)2

=

m2+1

|y2-y1|=

m2+1

(y1+y2)2-4y1y2

=

m2+1

(- 42m 7m2+16 )2-4(- 49 7m2+16 )

=

56(m2+1)

7m2+16

…（8分）
∴

|MN|

|OQ|2

=

56(m2+1) 7m2+16

112(m2+1) 7m2+16

=

1

2

，
∴|MN|和|OQ|²的比值為一個常數，這個常數為

1

2

…（9分）
（III）∵MN∥OQ，∴△QF₂M的面積=△OF₂M的面積，
∴S=S₁+S₂=S_△OMN
∵O到直線MN：x=my+3的距離d=

3

m2+1

，
∴S=

1

2

|MN|•d=

1

2

×

56(m2+1)

7m2+16

×

3

m2+1

=

84 m2+1

7m2+16

…（11分）
令

m2+1

=t，則m²=t²-1（t≥1）S=

84t

7(t2-1)+16

=

84t

7t2+9

=

84

7t+ 9 t

，
∵7t+

9

t

≥2

7t• 9 t

=6

7

（當且僅當7t=

9

t

，即t=

3

7

，亦即m=±

14

7

時取等號）
∴當m=±

14

7

時，S取最大值2

7

…（13分）

點評：本題考查橢圓的標準方程、直線、圓、與橢圓等橢圓知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、化歸與轉化思想、數形結合思想等．