Question

設數列{a_n}滿足a_n+1=a_n²-na_n+1（n∈N^*）
（1）當a₁=2時，求a₂、a₃、a₄，并由此猜想出a_n的一個通項公式；
（2）當a₁≥2時，證明：對?n∈N^*，有a_n≥n+1．

Answer 1

考點：數學歸納法,數列遞推式

專題：綜合題,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）由a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，把n=1，2，3分別代入可求a₂，a₃，a₄的值，歸納數列中每一項的值與序號的關系，我們可以歸納推理出a_n的一個通項公式．
（2）a_n≥n+1的證明可以使用數學歸納法，先證明n=1時不等式成立，再假設n=k時不等式成立，進而論證n=k+1時，不等式依然成立，最終得到不等式a_n≥n+1恒成立．

解答： 解：（1）由a₁=2，得a₂=a₁²-a₁+1=3
由a₂=3，得a₃=a₂²-2a₂+1=4
由a₃=4，得a₄=a₃²-3a₃+1=5
故猜想a_n=n+1；
（2）用數學歸納法證明：
①當n=1時，a₁≥2=1+1，不等式成立．
②假設當n=k時不等式成立，即a_k≥k+1，
那么a_k+1=a_k（a_k-k）+1≥（k+1）（k+1-k）+1=k+2．
也就是說，當n=k+1時，a_k+1≥（k+1）+1
據①和②，對于所有n≥1，有a_n≥n+1．

點評：本題主要考查了由數列的遞推公式求解數列的通項，解題的關鍵是由前幾項歸納出數列項的規律．歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．但歸納推理的結論不一定正確，我們要利用數學歸納法等方法對歸納的結論進行進一步的論證