Question

點P是橢圓16x²+25y²=1600上一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是其兩個焦點，若PF₂的斜率為-4

3

，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先把橢圓的方程轉(zhuǎn)化為標準形式，求出兩個焦點的坐標，利用點斜式求出直線的方程，將橢圓方程與直線的方程聯(lián)立求出交點的坐標，利用三角形的面積公式，求出△PF₁F₂的面積即可

解答： 解：F₁、F₂是橢圓

x2

100

+

y2

64

=1的左、右焦點，
則F₁（-6，0），F(xiàn)₂（6，0），
設(shè)P（x，y）是橢圓上一點，則

16x2+25y2=1600 y x-6 =-4 3

，
消去y，得19x²-225x+6500=0，
得x₁=5或x2=

130

19

；
①當x₁=5，得y₁=4

3

，
所以△PF₁F₂的面積S=

1

2

|F₁F₂|h₁=

1

2

×12×4

3

=24

3

；
②當x₂=

130

19

，得y₂=-

64 3

19

，
所以△PF₁F₂的面積S=

1

2

|F₁F₂|h₂=

1

2

×12×|-

64 3

19

|=

384 3

19

．
綜上，△PF₁F₂的面積是24

3

或

384 3

19

．

點評：本題主要考查橢圓的定義和待定系數(shù)法求橢圓的標準方程的運用，以及根據(jù)余弦定理解圓錐曲線的焦點三角形，屬于中檔題．