Question

【題目】已知函數f（x）=x（1+a|x|），a∈R．

（1）當a=-1時，求函數的零點；

（2）若函數f（x）在R上遞增，求實數a的取值范圍；

（3）設關于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集為A，若，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）和；（2）[0，+∞），（3）（，0）.

【解析】

（1）求得a＝﹣1時，函數y的解析式，解方程即可得到所求零點；

（2）討論a＝0，a＞0，a＜0，結合二次函數的單調性，即可得到所求范圍；

（3）由題意可得，在[，]上，函數y＝f（x+a）的圖象應在函數y＝f（x）的圖象的下方．當a＝0或 a＞0時，檢驗不滿足條件．當a＜0時，應有f（a）＜f（），化簡可得 a2﹣a﹣1＜0，由此求得a的范圍．

解：（1）當a=-1時，函數=x（1-|x|）-，

由y=0可得x（1-|x|）=，

當x≥0時，可得x（1-x）=，解得x=；

當x＜0時，可得x（1+x）=，解得x=，

綜上可得函數的零點為和；

（2）f（x）=，

函數f（x）在R上遞增，

若a=0時，f（x）=x在R上遞增；

a≠0，由x≥0時，f（x）遞增，可得a＞0且-＜0，即a＞0；

x＜0時，f（x）遞增，可得a＞0且＞0，即a＞0；

a＜0時，不符題意．

綜上可得a的范圍是[0，+∞）；

（3）由于f（x）=，

關于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集為M，若[-，]A，

則在[-，]上，函數y=f（x+a）的圖象應在函數y=f（x）的圖象的下方．

當a=0時，顯然不滿足條件．

當a＞0時，函數y=f（x+a）的圖象是把函數y=f（x）的圖象

向左平移a個單位得到的，

結合圖象（右上方）可得不滿足函數y=f（x+a）的圖象

在函數y=f（x）的圖象下方．

當a＜0時，如圖所示，要使在[-，]上，

函數y=f（x+a）的圖象在函數y=f（x）的圖象的下方，

只要f（+a）＜f（）即可，

即-a（+a）2+（+a）＜-a（）2，

即

化簡可得a2-a-1＜0，解得＜a＜，

故此時a的范圍為（，0）．

綜上可得，a的范圍為（，0）．