Question

【題目】已知橢圓的離心率為，其左頂點在圓上．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若點為橢圓上不同于點的點，直線與圓的另一個交點為．是否存在點，使得? 若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）不存在

【解析】試題分析：（I）左頂點代入圓的方程，求得，根據(jù)離心率為，求得，故橢圓方程為；（II）設(shè)點， ，直線的方程為,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的值，利用圓心到直線的距離求得，代入，所以不存在.

試題解析：

（I）因為橢圓的左頂點在圓上，令，得，所以.又離心率為，所以，所以，所以.

所以的方程為.

（II）設(shè)點， ，設(shè)直線的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立得，

化簡得到，因為-4為方程的一個根，

所以，所以

所以

因為圓心到直線的距離為，

所以.

因為，

代入得到，

顯然，所以不存在直線，使得.