Question

【題目】已知橢圓的一個頂點為,半焦距為,離心率,又直線交橢圓于, 兩點,且為中點.

（1）求橢圓的標準方程;

（2）若,求弦的長;

（3）若點恰好平分弦,求實數;

（4）若滿足,求實數的取值范圍并求的值;

（5）設圓與橢圓相交于點與點,求的最小值,并求此時圓的方程;

（6）若直線是圓的切線,證明的大小為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）, ；（4）,；（5）；（6）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據題意得方程組，解出方程組得橢圓方程；（2）聯立方程組，解出即可得交點坐標，進而得弦長；（3）利用“點差法”可得斜率，根據點在直線上故而可得的值；（4）在（3）式的基礎上等號兩邊同時除以，即可得的值，聯立直線與橢圓的方程，根據可得，結合韋達定理可得點坐標，根據,所以，化簡可得，兩者結合即可得結果；（5）根據點與點關于軸對稱，設出的坐標，再利用點在橢圓上，利用數量積的坐標表達式得出的表達式，最后利用二次函數的性質求其最小值及求此時圓的方程；（6）利用（4）中的結果結合韋達定理可得，根據直線與圓相切可得，故而，即可得結果.

試題解析：(1)根據題意: ,解得,所以橢圓的標準方程為;

（2）聯立直線方程和橢圓方程: ,整理得: ,解得或,

所以, ,則.

（3）恰好平分弦,所以,

在橢圓上,則,上下相減得,

即,即,則,即,

點在直線上,所以直線,整理得,所以,

綜上所述: , .

（4）由（3）知,等號兩邊同時除以,

得,所以.

聯立直線方程和橢圓方程: ,整理得: ,

,解得,

則,所以,則,

因為,所以,則,化簡得,則,又,所以,解得,

綜上所述: ,.

（5）設, ,則 ,

所以,點與點在橢圓上: ,所以,當時, 取得最小值,此時, ,

綜上所述: 的最小值為,此時圓的方程.

（6）由（4）得且,所以,,

所以

直線是圓的切線,所以點到直線距離為,

即,整理得,所以,即的大小為.