Question

【題目】已知函數

（1）函數，若是的極值點，求的值并討論的單調性；

（2）函數有兩個不同的極值點，其極小值為為，試比較與的大小關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1），在單調遞減，在單調遞增（2）

【解析】試題分析:(1)求出函數的導數,根據解出的值,從而確定的表達式,進而求出單調區間;(2)對求導, 有兩個不同的極值點,即方程在有兩個不同的實根，運用判別式和韋達定理,可得到,列表求出的單調區間和最值,即可得出,再通過構造，運用導數可知函數在單調遞減,從而得出．

試題解析:（1） ，

，

因為是的極值點，所以，得， ，

此時 ， ，

當時， ；當時， ．

所以在單調遞減，在單調遞增．

（2） ，

，

因為有兩個不同的極值點，所以在有兩個不同的實根，設此兩根為， ，且．

則，即，解得．

與隨的變化情況如下表：

由表可知 ，

因為，所以代入上式得：

，所以，

因為，且，所以．

令，則，

當時， ，即在單調遞減，

所以當時，有，

即．

點睛:本題考查導數的綜合應用求單調性和極值,考查函數的單調性及運用,極值點的個數與方程根的關系,屬于中檔題.極值點的個數問題經常與導函數在定義域內的方程根個數相互轉化,一元二次方程在有兩個不同的實根，等價轉化為判別式大于,韋達定理寫出兩根和與積,分別大于即可.