Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）證明：對任意的，都有；

（3）設，比較與的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）利用導數(shù)的幾何意義進行求解；（2）分別對不等式兩段構造函數(shù)，利用導數(shù)研究兩函數(shù)的單調性和最值，證明即可；（3）先等價化簡，再作差構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值即可判定.

試題解析：（1）因為，

所以， ，

又因為，所以切點為

故所求的切線方程為： ，即.（2）因為，故在上是增加的，在上是減少的

，

設，則，故在上是增加的，

在上是減少的，故，

.

所以對任意的恒成立.

（3），

，

∵，∴，故只需比較與的大小，

令，設，

則.

因為，所以，所以函數(shù)在上是增加的

故.

所以對任意恒成立.即，從而有.