Question

【題目】如圖1,在梯形ABCD中,,,,過A,B分別作CD的垂線,垂足分別為E,F,已知,,將梯形ABCD沿AE,BF同側折起,使得平面平面ABFE,平面平面BCF,得到圖2.

（1）證明:平面ACD;

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.（2）

【解析】

（1）設,取AC中點M,連接OM，DM，可證明四邊形DEOM為平行四邊形 可得，即得證；

（2）建立如圖空間直角坐標系，求解平面ADF，平面ADC的法向量，由二面角的向量公式即得解.

（1）設,取AC中點M,連接OM，DM

四邊形ABFE為正方形 ∴為AF中點 ∵M為AC中點 ∴

∵平面平面ABFE

平面平面

平面ABFE

平面ADE

又∵平面平面BCF

∴平面平面ABFE 同理,平面ABFE

又∵, ∴

∴

∴四邊形DEOM為平行四邊形 ∴

∵平面ADC,平面ADC

∴平面ADC

（2）由題意EA，EF，ED兩兩垂直，以EA為x軸,EF為y軸,ED為z軸建立空間直角坐標系

∴,,,

設平面ADF的法向量為

∵,

∴

∴

設平面ADC的法向量為

∵

∴

∴

設二面角的平面角為θ,由圖像得θ為銳角，

∴