【題目】已知函數
，
，其中
，
為自然對數的底數.
（1）求函數
的最小值；
（2）若對于任意的
，都存在唯一的
，使得
，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）當
時，
最小值為
，當
時，最小值為
，當
時，最小值為
；（2）
【解析】
（1）求出導函數，對a進行分類討論求得函數的單調區間，即可求得最小值；
（2）求出
，
的值域，結合（1）的單調性和值域討論不等關系即可得解.
（1）由題：
，
，
當時，
恒成立，
所以函數
在
單調遞增，最小值為
，
當時，
恒成立，
所以函數在單調遞減，最小值為
，
當時，由
得
，由
得
，
在遞減，在遞增，
所以函數的最小值為
綜上所述：當時，最小值為，當時，最小值為，當時，最小值為；
（2）函數，，
當且僅當x=0時，導數值為0，
所以在單調遞增，值域為
，
結合（1）可得：
當時，函數在單調遞增，
，，只需
，解得：
，
當時，函數在單調遞減，
，不合題意，舍去，
當時，在遞減，在遞增，
，
，
所以只需
，解得
綜上所述
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓A：（x+2）2+y2＝32，過B（2，0）且與圓A相切的動圓圓心為P．
（1）求點P的軌跡E的方程；
（2）設過點A的直線l1交曲線E于Q、S兩點，過點B的直線l2交曲線E于R、T兩點，且l1⊥l2，垂足為W（Q、S、R、T為不同的四個點），求四邊形QRST的面積的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某種產品的質量用其質量指標值來衡量)質量指標值越大表明質量越好,且質量指標值大于或等于102的產品為優質品.現用兩種新配方(分別稱為
配方和
配方)做試驗,各生產了100件這種產品,并測量了每件產品的質量指標值,得到下面試驗結果:
配方的頻數分布表:
指標值分組 | [90,94） | [94,98） | [98,102） | [102,106） | [106,110] |
頻數 | 8 | 20 | 42 | 22 | 8 |
配方的頻數分布表:
指標值分組 | [90,94） | [94,98） | [98,102） | [102,106] | [106,110] |
頻數 | 4 | 12 | 42 | 32 | 10 |
（1）分別估計用配方、配方生產的產品的優質品率;
（2）已知用配方生產的一件產品的利潤(單位:元)與其質量指標值
的關系為
,估計用配方生產的一件產品的利潤大于
的概率,并求用配方生產的上述
件產品的平均利潤.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
垂直圓O所在的平面，
是圓O的一條直徑，C為圓周上異于A，B的動點，D為弦
的中點，
.
（1）證明：平面
平面
；
（2）若
，求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，其中左焦點
(-2,0).
（1） 求橢圓C的方程；
（2） 若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點M在圓x2+y2=1上，求m的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知正項數列{an}的前n項和Sn滿足2Sn＝an+2﹣2，n∈N*.
（1）若數列{an}為等比數列，求數列{an}的公比q的值.
（2）若a2＝a1＝1，bn＝an+an+1，求數列{bn}的通項公式.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校某班的一次數學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損，可見部分如圖（已知本次測試成績滿分100分，且均為不低于50分的整數），請根據圖表中的信息解答下列問題.
（1）求全班的學生人數及頻率分布直方圖中分數在[70，80）之間的矩形的高；
（2）為了幫助學生提高數學成績，決定在班里成立“二幫一”小組，即從成績[90，100]中選兩位同學，共同幫助[50，60）中的某一位同學，已知甲同學的成績為53分，乙同學的成績為96分，求甲、乙恰好被安排在同一小組的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1,在梯形ABCD中,
,
,
,過A,B分別作CD的垂線,垂足分別為E,F,已知
,
,將梯形ABCD沿AE,BF同側折起,使得平面
平面ABFE,平面
平面BCF,得到圖2.
（1）證明:
平面ACD;
（2）求二面角
的余弦值.
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