Question

已知平行四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（3，1），B（-1，1），C（-3，-1），D（1，-1）．其在矩陣M=

k 1 0 2

（k＜0）所對(duì)應(yīng)的變換作用下變成菱形A′B′C′D′．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求矩陣M的逆矩陣M^-1．

Answer 1

考點(diǎn)：逆變換與逆矩陣

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（Ⅰ）確定點(diǎn)（x，y）在矩陣M=

k 1 0 2

(k＜0)所對(duì)應(yīng)的變換作用下變成

k 1 0 2

x y

=(kx+y，2y)，利用要使得A'B'C'D'為菱形，只需|A'B'|=|B'C'|，即可求k的值；
（Ⅱ）求出|M|=-2，即可求矩陣M的逆矩陣M^-1．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可知點(diǎn)（x，y）在矩陣M=

k 1 0 2

(k＜0)所對(duì)應(yīng)的變換作用下變成

k 1 0 2

x y

=(kx+y，2y)，
故點(diǎn)A（3，1）→A'（3k+1，2），B（-1，1）→B'（-k+1，2），C（-3，-1）→C'（-3k-1，-2），D（1，-1）→D'（k-1，-2）…（2分）
顯然四邊形A'B'C'D'為平行四邊形，故要使得A'B'C'D'為菱形，
只需|A'B'|=|B'C'|，即|4k|=

4k2+8k+20

，由k＜0，解得k=-1…（4分）；
（Ⅱ）由|M|=-2，故M-1=

1

-2

2 -1 0 -1

=

-1 1 2 0 1 2

．…（7分）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩陣變換的性質(zhì)，考查逆矩陣的求法，比較基礎(chǔ)．