Question

已知復數z=（1-i）²+1+3i．
（1）若z²+az+b=1-i，求實數a，b的值；
（2）若復數（

1

z

+mi）²在復平面上對應的點在第一象限，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：復數代數形式的乘除運算,復數相等的充要條件

專題：數系的擴充和復數

分析：（1）由條件求得復數z=1+i，根據z²+az+b=1-i，利用兩個復數相等的充要條件求得a和 b的值．
（2）化簡復數（

1

z

+mi）² 為

1

4

-（m²-m+

1

4

）+（m-

1

2

）i，根據它對應點在復平面上對應的點在第一象限，可得 

1

4

-（m²-m+

1

4

）＞0，且 （m-

1

2

）＞0，由此求得m的范圍．

解答： 解：（1）∵復數z=（1-i）²+1+3i=1+i，z²+az+b=1-i，
∴2i+a（1+i）+b=1-i，即 a+b+（a+2）i=1-i，
∴a+b=1，a+2=-1．
解得a=-3，b=4．
（2）∵復數（

1

z

+mi）² =(

1

1+i

+mi)2=[

1

2

+(m-

1

2

)i]2=

1

4

-（m²-m+

1

4

）+（m-

1

2

）i
對應點在復平面上對應的點在第一象限，
∴

1

4

-（m²-m+

1

4

）＞0，且（m-

1

2

）＞0，
解得

1

2

＜m＜1，即m的范圍是（

1

2

，1）．

點評：本題主要考查復數的基本概念，復數代數表示法及其幾何意義，兩個復數相等的充要條件，兩個復數代數形式的混合運算，屬于基礎題．