Question

設函數f（x）=aln（x+1）+x²．
（Ⅰ）當a＞0時，求函數的極大值和極小值點；
（Ⅱ）證明：對任意的正整數n，不等式ln

n2+1

n2+n

≤

1

n2

-

1

n4

恒成立．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由已知條件得f′ (x)=

2x2+2x+a

x+1

，x＞-1．當a≥

1

2

時，無極值點；當0＜a＜

1

2

時，令2x²+2x+a=0，利用導數性質求得f（x）有極小值點x2=

-1+ 2-a

2

，有極大值點x1=

-1- 1-2a

2

．
（Ⅱ）ln

n2+1

n2+n

≤

1

n2

-

1

n4

等價于ln(1+

1

n2

)+

1

n4

≤ln(1+

1

n

)+

1

n2

，令x1=

1

n2

，x2=

1

n

，則0＜x₁≤x₂≤1，由（Ⅰ）得f（x₁）≤f（x₂），由此能證明對任意的正整數n，不等式ln

n2+1

n2+n

≤

1

n2

-

1

n4

恒成立

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=aln（x+1）+x²，
∴f′ (x)=

2x2+2x+a

x+1

，x+1＞0，即x＞-1．
①當a≥

1

2

時，f′（x）≥0，f（x）在（-1，+∞）上單調增加，無極值點；
②當0＜a＜

1

2

時，令2x²+2x+a=0，
得兩根x1=

-1- 1-2a

2

，x2=

-1+ 1-2a

2

，
∴x₁，x₂∈（-1，+∞），
由x∈（-1，x₁）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
x∈（x₂，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．
∴f（x）有極小值點x2=

-1+ 2-a

2

，有極大值點x1=

-1- 1-2a

2

．
（Ⅱ）證明：ln

n2+1

n2+n

≤

1

n2

-

1

n4

等價于ln

1+ 1 n2

1+ 1 n

 ≤

1

n2

-

1

n4

，
∴ln(1+

1

n2

)-ln(1+

1

n

)≤

1

n2

-

1

n4

，
∴ln(1+

1

n2

)+

1

n4

≤ln(1+

1

n

)+

1

n2

，
令x1=

1

n2

，x2=

1

n

，則0＜x₁≤x₂≤1，
由（Ⅰ）得f（x₁）≤f（x₂），
即ln(1+x1)+x12≤ln(1+x2)+x22，
∴ln(1+

1

n2

)+

1

n4

≤ln(1+

1

n

)+

1

n2

恒成立，
∴對任意的正整數n，不等式ln

n2+1

n2+n

≤

1

n2

-

1

n4

恒成立．

點評：本題考查函數的極值點的求法，考查不等式的證明，解題時要注意導數性質和等價轉化思想的合理運用．