Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點是F（1，0），且離心率為

1

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設經(jīng)過點F且斜率為1的直線交橢圓C與M、N兩點，求MN的長．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點是F（1，0），且離心率為

1

2

，求出c，a，可得b，即可求橢圓C的方程；
（2）設l：y=x-1，代入

x2

4

+

y2

3

=1，求出方程的解，即可求MN的長．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點是F（1，0），且離心率為

1

2

，
∴c=1，a=2，
∴b=

3

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設l：y=x-1，代入

x2

4

+

y2

3

=1，可得7x²-8x-16=0，
∴x=4±4

2

，
∴|MN|=

2

•8

2

=16．

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．