Question

已知函數f（x）=

e-x+1(x≥0) ax+2(x＜0)

（a為常數），對于下列結論
①函數f（x）的最大值為2；
②當a＜0時，函數f（x）在R上是單調函數；
③當a＞0時，對一切非零實數x，xf′（x）＜0（這里f′（x）是f（x）的導函數）；
④當a＞0時，方程f[f（x）]=1有三個不等實根．
其中正確的結論是（　　）

• A、①③④
• B、②③④
• C、①④
• D、②③

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：數形結合,函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：畫出函數f（x）的圖象，通過圖象觀察得到，通過a＞0，a＜0即可判斷①；通過a＜0的圖象，即可判斷②；
通過a＞0的圖象，結合單調性與導數的關系，即可判斷③；通過a＞0的圖象運用換元法，即可解出方程，從而判斷④．

解答： 解：畫出函數f（x）的圖象，通過圖象觀察得到：
①當a＞0時，函數f（x）的最大值為2，當a＜0時，無最大值．
故①錯；
②當a＜0時，函數f（x）在R上是單調函數且為減函數，
故②對；
③當a＞0時，x＜0，f（x）為單調增函數；x＞0時，f（x）為減函數．故當a＞0時，對一切非零實數x，xf′（x）＜0成立，
故③正確；
④當a＞0時，方程f[f（x）]=1，令f（x）=t，則f（t）=1，
解得t=-

1

a

，則x=-

1

a2

-

2

a

，則方程僅有一解，故④錯．
故選D．

點評：本題考查分段函數的圖象及應用，考查函數的單調性以及導數與單調性的關系，考查數形結合的思想方法，屬于中檔題．