Question

在長方體中，，過、、三點(diǎn)的平面截去長方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體，且這個(gè)幾何體的體積為．

（1）求棱的長；
（2）若的中點(diǎn)為，求異面直線與所成角的余弦值.

Answer 1

（1）3（2）

本題主要考查了點(diǎn)，線和面間的距離計(jì)算．解題的關(guān)鍵是利用了法向量的方法求點(diǎn)到面的距離。
（1）因?yàn)椋┰O(shè)，由題設(shè)，可知棱長。
（2）因?yàn)樵陂L方體中//，
所以即為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）
那么借助于三角形求解得到結(jié)論。
解：（1）設(shè)，由題設(shè)，
得，即，解得．
故的長為．   ……………………………6分
（2）因?yàn)樵陂L方體中//，
所以即為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）．…………………………8分
在△中，計(jì)算可得，則的余弦值為。……………12分