Question

（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱中，⊥，⊥，，為的中點，且⊥.

(1)求證：⊥平面；(2)求三棱錐的體積.

Answer 1

解：(1)見解析；(2) ＝·CD
＝A₁B₁×B₁B×CD＝×2×2×＝.

本題考查線線垂直，線面垂直及多面體的體積的求法技巧，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計算能力
（1）證明CD⊥BB₁，通過BB1⊥AB，AB∩CD=D，即可證明BB1⊥面ABC
（2）所求的體積進行等價轉(zhuǎn)化可以知道幾何體的體積．
解：(1)∵AC＝BC，D為AB的中點，∴CD⊥AB，又∵CD⊥DA₁，∴CD⊥平面ABB₁A₁，∴CD⊥BB₁，
又BB₁⊥AB，AB∩CD＝D，∴BB₁⊥平面ABC.……6分
(2)由(1)知CD⊥平面AA₁B₁B，故CD是三棱錐C－A₁B₁D的高，
在Rt△ACB中，AC＝BC＝2，∴AB＝2，CD＝，
又BB₁＝2，∴＝·CD
＝A₁B₁×B₁B×CD＝×2×2×＝.……12分