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【題目】已知函數.

（1）若函數在處的切線斜率為2，試求a的值及此時的切線方程；

（2）若函數在區間（其中…為自然對數的底數）上有唯一的零點，求實數a的取值范圍.

【答案】（1），；（2）或.

【解析】

（1）根據導數的幾何意義求解即可；

（2）討論參數的值，確定函數在區間的單調性，從而根據零點的個數，得出實數a的取值范圍.

（1）由，（）.

由已知.

可得：

又此時.

所以所求的切線方程為：.

即：

（2），其中

①當時，在區間恒成立，在區間單調遞增

又∵，∴函數在區間上有唯一的零點，符合題意.

②當時，在區間恒成立，在區間單調遞減

又∵，∴函數在區間上有唯一的零點，符合題意.

③當時

（i）時，，單調遞減

又∵，，∴函數在區間上有唯一的零點

（ii）當時，，單調遞增

∴要使在區間上有唯一的零點，只有當時符合題意

即，即

∴時，函數在區間上有唯一的零點；

∴綜上a的取值范圍是或.

練習冊系列答案

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【題目】在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫療物資生產企業加班加點生產口罩、防護服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫療物資供應，在國際社會上贏得一片贊譽．我國某口罩生產廠商在加大生產的同時．狠抓質量管理，不定時抽查口罩質量，該廠質檢人員從某日所生產的口罩中隨機抽取了100個，將其質量指標值分成以下五組：，，，，，得到如下頻率分布直方圖．

（1）規定：口罩的質量指標值越高，說明該口罩質量越好，其中質量指標值低于130的為二級口罩，質量指標值不低于130的為一級口罩．現從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機抽取8個口罩，再從中抽取3個，記其中一級口罩個數為，求的分布列及數學期望；

（2）在2020年“五一”勞動節前，甲，乙兩人計劃同時在該型號口罩的某網絡購物平臺上分別參加、兩店各一個訂單“秒殺”搶購，其中每個訂單由個該型號口罩構成．假定甲、乙兩人在、兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為，，記甲、乙兩人搶購成功的訂單總數量、口罩總數量分別為，，

①求的分布列及數學期望；

②求當的數學期望取最大值時正整數的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】近幾年，電商行業的蓬勃發展帶動了快遞業的迅速增長，快遞公司攬收價格一般是采用“首重+續重”的計價方式.首重是指最低的計費重量，續重是指超過首重部分的計費重量，不滿一公斤按一公斤計費.某快遞網點將快件的攬收價格定為首重（不超過一公斤）8元，續重2元/公斤（例如，若一個快件的重量是0.6公斤，按8元計費；若一個快件的重量是1.4公斤，按元元元計費）.根據歷史數據，得到該網點攬收快件重量的頻率分布直方圖如下圖所示

（1）根據樣本估計總體的思想，將頻率視作概率，求該網點攬收快件的平均價格；

（2）為了獲得更大的利潤，該網點對“一天中收發一件快遞的平均成本（單位：元）與當天攬收的快遞件數（單位：百件）之間的關系”進行調查研究，得到相關數據如下表：

每天攬收快遞件數（百件）	2	3	4	5	8
每件快遞的平均成本（元）	5.6	4.8	4.4	4.3	4.1

根據以上數據，技術人員分別根據甲、乙兩種不同的回歸模型，得到兩個回歸方程：

方程甲：，方程乙：.

①為了評價兩種模型的擬合效果，根據上表數據和相應回歸方程，將以下表格填寫完整（結果保留一位小數），分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和，，并依此判斷哪個模型的擬合效果更好（備注：稱為相應于點的殘差，殘差平方和；

每天攬收快遞件數/百件		2	3	4	5	8
每天快遞的平均成本/元		5.6	4.8	4.4	4.3	4.1
模型甲	預報值	5.2	5.0	4.8
模型甲	殘差		0.2	0.4
模型乙	預報值	5.5	4.8	4.5
模型乙	預報值		0	0.1