Question

【題目】圖1，平行四邊形中， ， ，現將沿折起，得到三棱錐（如圖2），且，點為側棱的中點.

（1）求證： 平面；

（2）求三棱錐的體積；

（3）在的角平分線上是否存在點，使得平面？若存在，求的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由平面幾何知識先證明，再由線面垂直的判定的定理可得平面，從而得，進而可得平面，最后由由線面垂直的判定的定理可得結論；（Ⅱ）由等積變換可得，進而可得結果；（Ⅱ）取中點，連接并延長至點，使，連接， ， ，先證四邊形為平行四邊形，則有∥，利用平面幾何知識可得結果.

試題解析：（Ⅰ）證明：在平行四邊形中，有，又因為為側棱的中點，

所以；

又因為， ，且，所以平面.

又因為平面，所以；

因為，

所以平面，

又因為平面，

所以平面平面．

（Ⅱ）解：因為， 平面，所以是三棱錐的高，

故，

又因為， , ，所以，

所以有 .

（Ⅲ）解：取中點，連接并延長至點，使，連接， ， .

因為，所以射線是角的角分線.

又因為點是的中點，所以∥，

因為平面， 平面，

所以∥平面.

因為、互相平分，

故四邊形為平行四邊形，有∥.

又因為，所以有，

又因為，故.