Question

【題目】已知橢圓： （）的焦距為，且經過點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）、是橢圓上兩點，線段的垂直平分線經過，求面積的最大值（為坐標原點）．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】【試題分析】（Ⅰ）由題設條件先求出左、右焦點坐標， ，再借助橢圓定義求得，進而求得橢圓方程；（Ⅱ）先建立直線的方程為，借助坐標之間的關系計算， 到直線的距離， 的面積函數，最后借助，從而求得：若，則，等號當且僅當時成立；若，則， ，等號當且僅當， 時成立，最后求得面積的最大值為：

解析：（Ⅰ）依題意， ，橢圓的焦點為，

所以，橢圓的方程為

（Ⅱ）根據橢圓的對稱性，直線與軸不垂直，設直線：

由得，

設， ，則，

， 到直線的距離， 的面積

依題意， ， ，

， ，代入整理得，

若，則，等號當且僅當時成立

若，則， ，等號當且僅當， 時成立。

綜上所述， 面積的最大值為