Question

【題目】已知橢圓：的右焦點為，且點在橢圓上．

⑴求橢圓的標準方程；

⑵已知動直線過點且與橢圓交于兩點．試問軸上是否存在定點,使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）軸上存在點

【解析】試題分析：（1）利用橢圓的定義求出a的值，進而可求b的值，即可得到橢圓的標準方程；（2）先利用特殊位置，猜想點Q的坐標，再證明一般性也成立即可

試題解析：（1）由題意知，

根據橢圓的定義得：

即

，

橢圓的標準方程為

（2）假設在軸上存在點，使得恒成立．

① 當直線的斜率為時，，．

則

解得．

② 當直線的斜率不存在時，，．

則

解得或

③ 由①②可知當直線的斜率為或不存在時，使得成立．

下面證明即時恒成立．

設直線的斜率存在且不為時，直線方程為，,

由，可得

，

∴

綜上所述：在軸上存在點，使得恒成立．