Question

【題目】設函數， ，已知曲線在點處的切線與直線平行.

（Ⅰ）若方程在內存在唯一的根，求出的值；

（Ⅱ）設函數（表示中的較小值），求的最大值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出的導數，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，解方程可得，求出、的導數和單調區間，最值，由零點存在定理，即可判斷存在；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得的解析式，通過的最大值，即可得到所求.

試題解析：（Ⅰ）由題意知，曲線在點處的切線斜率為，所以，

又所以．

設

顯然當時， ．

又所以存在，使

因為

所以當時， ，

又顯然當時， ，

所以當時， 單調遞增．

所以時，方程在內存在唯一的根．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，方程在內存在唯一的根，

且時， ， 時， ，

所以．

當時，若

若由

可知故

當時，由

可得時， 單調遞增；

時， 單調遞減．

可知

且．綜上可得：函數的最大值為．