Question

【題目】已知圓：，直線：.

（1）求直線所過定點的坐標；

（2）求直線被圓所截得的弦長最短時的值；

（3）已知點，在直線（為圓心）上存在定點（異于點），滿足：對于圓上任一點，都有為一常數，試求所有滿足條件的點的坐標及該常數.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），2

【解析】

（1）把直線方程整理為關于的恒等式，由恒等式知識可得定點坐標；

（2）定點在圓內，因此在時弦長最短，由此可得值；

（3）直線的方程為，假設存在定點滿足題意，設，把結合在圓上整理為關于的恒等式，從而求得，得點坐標．

（1）依題意得，

令且，得，

直線過定點.

（2）當時，所截得弦長最短，由題知，

，得，由得.

（3）由題知，直線的方程為，假設存在定點滿足題意，

則設，，得，且

整理得，

上式對任意恒成立，且

解得，說以，（舍去，與重臺），，

綜上可知，在直線上存在定點，使得為常數2