Question

【題目】已知橢圓 ： （ ）的離心率 ，直線 被以橢圓 的短軸為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為 .

（1）求橢圓 的方程；

（2）過點(diǎn) 的直線 交橢圓于 ， 兩個(gè)不同的點(diǎn)，且 ，求 的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：

（1）由直線與圓的位置關(guān)系可得.由橢圓的離心率可得，則橢圓的方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率為時(shí)， ，當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，設(shè)直線在y軸上的截距式方程為， ， ，聯(lián)立方程可得，滿足題意時(shí)，結(jié)合韋達(dá)定理可知，據(jù)此可知.綜上可得.

試題解析：

（1）因?yàn)樵�點(diǎn)到直線的距離為，

所以（），解得.

又，得

所以橢圓的方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率為時(shí)， ，

當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，設(shè)直線： ， ， ，

聯(lián)立方程組，得，

由，得，

所以，

，

由，得，所以.

綜上可得： ，即.