Question

【題目】（本小題滿分12分）

已知橢圓：的左、右頂點分別為A，B，其離心率，點為橢圓上的一個動點，面積的最大值是．

(1)求橢圓的方程；

(2)若過橢圓右頂點的直線與橢圓的另一個交點為，線段的垂直平分線與軸交于點，當時，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（2）當時，，當時，

【解析】

（1）由題意可知解方程即可得解；

（2）設直線的方程為，，由直線與橢圓聯立得，由根與系數的關系可得，從而得中點的坐標，進而得的垂直平分線方程，令x=0可得，再由，用坐標表示即可解.

（1）由題意可知解得，，

所以橢圓方程為.

（2）由（1）知，設直線的方程為，，

把代入橢圓方程，

整理得，

所以，則，

所以中點的坐標為，

則直線的垂直平分線方程為，得

又，即，

化簡得，

解得

故當時，，當時，.