Question

【題目】在如圖所示的圓錐中，OP是圓錐的高，AB是底面圓的直徑，點C是弧AB的中點，E是線段AC的中點，D是線段PB的中點，且PO=2，OB=1．

（1）試在PB上確定一點F，使得EF∥面COD，并說明理由；
（2）求點A到面COD的距離．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接BE，設BE∩OC=G，由題意G為△ABC的重心，∴ =2，

連接DG，

∵EF∥平面COD，EF平面BEF，平面BEF∩平面COD=DG，

∴EF∥DG，

∴ = =2，

又BD=DP，∴DF=PF= PB．

∴點F是PB上靠近點P的四等分點．

（2）解：由PO⊥平面ABC，OC平面ABC，

∴OC⊥PO，又點C是弧AB的中點，OC⊥AB，∴OC⊥平面POB．

OD平面POB，∴OC⊥OD．

S△COD= OCOD= = ．

∵VA﹣OCD=VD﹣AOC，∴ S△CODd= PO，

∴ d= ，

∴點A到面COD的距離 ．

【解析】（1）連接BE，設BE∩OC=G，由題意G為△ABC的重心，可得 =2，連接DG，利用EF∥平面COD，可得EF∥DG，進而得出F點的位置．（2）由PO⊥平面ABC，可得OC⊥PO，利用線面面面垂直的判定與性質定理可得OC⊥平面POB．OC⊥OD．利用VA﹣OCD=VD﹣AOC ， 即可得出．