Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平面四邊形，∠ABC=60°，BC=2AB，PA⊥底面ABCD．
（1）證明：PB⊥AC；
（2）設PA=AB=1，求棱錐A-PBC的高．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）證明PA⊥底面ABCD，可得PA⊥AC，結合AB⊥AC，即可證明AC⊥平面PAB，從而可得PB⊥AC；
（2）利用V_A-PBC=V_P-ABC，即可求棱錐A-PBC的高．

解答： （1）證明：∵∠ABC=60°，BC=2AB，
∴由余弦定理得AC=

3

AB，
∴AC²+AB²=BC²，
∴AB⊥AC，
∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AC，
∴AC⊥平面PAB，
∴PB⊥AC；
（2）解：如圖，PB=

PA2+AB2

=

2

，
∴PC=

PA2+AC2

=2，BC=

AB2+AC2

=2，
設棱錐A-PBC的高為h，則V_A-PBC=V_P-ABC，
∴

1

3

S△PBC•h=

1

3

S△ABC•PA，
∵S△PBC=

7

2

，S△ABC=

3

2

，
∴

7

2

h=

3

2

，
∴h=

21

7

．

點評：本題考查線面垂直，考查錐體的體積公式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．