Question

【題目】已知常數，數列的前項和為， ， ；

（1）求數列的通項公式；

（2）若，且是單調遞增數列，求實數的取值范圍；

（3）若， ，對于任意給定的正整數，是否存在正整數、，使得？若存在，求出、的值(只要寫出一組即可)；若不存在，請說明理由；

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) ， (或， ；…)

【解析】試題分析：(1)將條件中分式變成整式得，把換成得，兩式相減化簡可得，化簡得，根據等差數列定義可知數列為等差數列，由等差數列通項公式寫出公式即可。（2）由（1）可得，因為數列是單調遞增數列，所以， ，化簡得，因為的正負與是奇數、偶數有關，故分兩種情況討論。當是奇數時， 可變為恒成立，構造函數求不等式右邊的最大值，令，用函數單調性定義可證明單調性為減函數，所以；當是偶數時， 可變為恒成立，構造函數求不等式右邊的最小值，令，利用函數單調性定義證明函數為增函數，所以 。可得所求范圍。（3）由（1）及可求出，所以 。假設對任意，總存在正整數，使，可得關于的關系式 整理可得，給出的值，可求出的值。

試題解析：解：(1)

∴是以為首項， 為公差的等差數列，∴

(2) ,即

若為奇數，則恒成立，

考察，

即，∴；

若為偶數，則恒成立，

考察，

即，∴；綜上所述， ；

(3)由(1) .假設對任意，總存在正整數，使，

則

令，則 (或，則；…)

∴ (或；…)