Question

【題目】如圖，直三棱柱中， ， ， 是的中點，△是等腰三角形， 為的中點， 為上一點；

（1）若∥平面，求；

（2）平面將三棱柱分成兩個部分，求含有點的那部分體積；

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：(1)因為∥平面，所以找過直線ＤＥ的平面與平面的交線，進而確定所求的值。取BC的中點N，連結ＭＮ， ，根據∥∥，可得平面與平面為同一個平面，平面 平面 ，根據條件∥平面和線面平行的性質定理可得∥，再由為的中點，可得是的中點，∴．（２）含有點的那部分不是規則的幾何體，體積不好求，故把該部分補成規則的幾何體。延長MN至點F，使MN=NF，連結FC、FC1. 補成三棱柱所以所求部分的體積等于三棱柱的體積減去三棱錐 的體積。因為三棱柱為直三棱柱，∴平面，

又因為，所以平面，所以三棱柱是直三棱柱。

因為平面，所以 ，所以三棱錐為直三棱錐。∵，又是等腰三角形，所以. 因為BC的中點為N，所以.

試題解析：解：取中點為，連結，

∵分別為中點

∴∥∥，∴四點共面，

且平面 平面

又平面，且∥平面，∴∥

∵為的中點，∴是的中點，∴．

(2)因為三棱柱為直三棱柱，∴平面，

又，則平面。

∵，又是等腰三角形，所以.

如圖，將幾何體補成三棱柱

∴幾何體的體積為：