Question

【題目】已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且當x≥0時，f（x）=x|x﹣2|．若關于x的方程f2（x）+af（x）+b=0（a，b∈R）恰有10個不同實數解，則a的取值范圍為（ ）
A.（0，2）
B.（﹣2，0）
C.（1，2）
D.（﹣2，﹣1）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：設x＜0，則﹣x＞0，滿足表達式f（x）=x|x﹣2|． ∴f（﹣x）=﹣x|﹣x﹣2|=﹣x|x+2|，
又∵f（x）為偶函數，∴f（﹣x）=f（x），
∴f（x）=﹣x|x+2|，
故當x＜0時，f（x）=﹣x|x+2|．
則f（x）= ，
作出f（x）的圖象如圖：
設t=f（x），
由圖象知，當t＞1時，t=f（x）有兩個根，
當t=1時，t=f（x）有四個根，
當0＜t＜1時，t=f（x）有六兩個根，
當t=0時，t=f（x）有三個根，
當t＜0時，t=f（x）有0個根，
則方程[f（x）]2+af（x）+b=0等價為t2+at+b=0，
若方程[f（x）]2+af（x）+b=0（a∈R）恰好有1個不同實數解，
等價為方程t2+at+b=0有兩不同的根，
且0＜t1＜1，t2=1，
則t1+t2=﹣a，
即1＜t1+t2＜2，
則1＜﹣a＜2，
即﹣2＜a＜﹣1，
則a的取值范圍為（﹣2，﹣1），
故選D．

【考點精析】利用函數奇偶性的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．