【題目】已知過橢圓
的四個頂點與坐標軸垂直的四條直線圍成的矩形
（
是第一象限內的點）的面積為
，且過橢圓
的右焦點
的傾斜角為
的直線過點．
（1）求橢圓的標準方程
（2）若射線
與橢圓的交點分別為
．當它們的斜率之積為
時，試問
的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不為定值，說明理由．
【答案】（1）
；（2）
的面積為定值
．
【解析】
（1）根據矩形面積、直線
斜率和橢圓
關系可構造方程組求得，進而得到橢圓標準方程；
（2）當直線
斜率存在時，設方程為
，與橢圓方程聯立得到韋達定理的形式，利用弦長公式求得
，點到直線公式求得點
到直線距離
，進而表示出
；根據
，代入韋達定理形式化簡可得
，代入中化簡得到
；當直線斜率不存在時，可求得
兩點坐標，進而求得；綜合兩種情況可知為定值.
（1）由題意得：
，
，
，
.
直線的斜率
，
，
由
得：
，
橢圓
的標準方程為.
（2）的面積為定值，理由如下：
設
，
，
①當直線斜率存在時，設方程為.
由
得：
，
則
，即
，
，
，
，
又點到直線的距離
，
.
，
，
化簡可得：，滿足
，
；
②當直線斜率不存在時，
且
，可設
，
，
則點的坐標分別為
，
，
此時
；
綜上所述：的面積為定值.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
.
（1）當
時，若
，求
的取值范圍；
（2）若定義在
上奇函數
滿足
，且當
時，
，求在
上的解析式；
（3）對于（2）中的，若關于的不等式
在上恒成立，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左右焦點分別為
，
，以
，
，
和為頂點的梯形的高為
，面積為
．
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）設
，
為橢圓上的任意兩點，若直線
與圓
相切，求
面積的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
:
離心率是
分別是橢圓的左右焦點，過
作斜率為
的直線
，交橢圓于
，
兩點，且三角形
周長
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線
分別交
軸于不同的兩點
，
．如果
為銳角，求的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，短軸長為
．
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）若橢圓的左焦點為
，過點的直線
與橢圓交于
兩點，則在
軸上是否存在一個定點
使得直線
的斜率互為相反數？若存在，求出定點的坐標；若不存在，也請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知在矩形
中，
，沿直線BD將△ABD折成
，使得點
在平面
上的射影在
內（不含邊界），設二面角
的大小為
，直線
,
與平面中所成的角分別為
，則（ ）
A.
B.
C.
D.
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