Question

【題目】試求出正整數的最小可能值，使得下述命題成立：對于任意的個整數（允許相等），必定存在相應的個整數（也允許相等），且，，使得2003能整除.

Answer 1

【答案】7

【解析】

先證明時，命題成立.為此，考慮和式，其中.

這種和式共有個，由于，所以，由抽屜原則可知，必有兩個不同的和式與被2003除所得的余數相同.

故2003能整除

.

其中，（因為、，），且至少有一個（因為數組）.這時，取，，即可滿足要求.

故當時，命題成立.

其次，證明時，命題不成立.為此，我們舉反例.

取，，，，，，

于是，對于任意的6個整數，，，

和式都是3的倍數.

則

.

不妨設中不為零且下標為最大的數是，即，且，則

.

另外，不妨設（當時，可考慮.

若，則

.

若，則，.

綜上可知，且，.

顯然2003與3互素.

假若有2003整除，則，為整數，且.于是，，這與矛盾.因此，當取，時，就不可能有，，，，能使得

.

這個反例說明：當時，命題不成立.

由上述兩步可知，所求的最小正整數為7.