Question

【題目】如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為矩形，二面角A-CD-F為60°，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，DE=DC=3，CF=6.

（1）求證：BF∥平面ADE；

（2）在線段CF上求一點G，使銳二面角B-EG-D的余弦值為.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）點滿足.

【解析】

（1）先證明平面，平面，可得平面平面，從而可得結果；（2）作于點，則平面，以平行于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，設，利用向量垂直數量積為零列方程組求得平面的法向量，結合面的一個法向量為，利用空間向量夾角余弦公式列方程解得，從而可得結果.

（1）因為ABCD是矩形，所以BC∥AD，

又因為BC不包含于平面ADE，

所以BC∥平面ADE，

因為DE∥CF，CF不包含于平面ADE，

所以CF∥平面ADE，

又因為BC∩CF＝C，所以平面BCF∥平面ADF，

而BF平面BCF，所以BF∥平面ADE．

（2）∵CD⊥AD，CD⊥DE

∴∠ADE為二面角A-CD-F的平面角

∴∠ADE=60°

∵CD⊥面ADE

平面平面，作于點，

則平面，

由，得，

以為原點，平行于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，

，

設，則，

設平面的法向量為，

則由，得，取，

得平面的一個法向量為，

又面的一個法向量為，

，

，

解得或（舍去），

此時，得，

即所求線段上的點滿足.