Question

【題目】如圖，在多面體中，底面是菱形，，，且.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若平面平面，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取的中點，連接，，易得，接著通過證明來得到平面，進而可得結論；（Ⅱ）通過面面垂直可得平面，進而可建立如圖所示的坐標系，求出平面的法向量，結合平面的一個法向量為，進而可求得最后結果.

（Ⅰ）取的中點，連接，.∵，∴.

∵底面是菱形，，∴，∴，∵，∴平面.∵平面，∴.

（Ⅱ）∵，平面平面，平面平面，∴平面.

∴可以為原點，，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，.

∴，，，∴，

∴，即，∴.

設平面的一個法向量為，則

令，則.易知平面的一個法向量為.

設平面與平面所成的銳二面角為，∴.

∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.