Question

【題目】如圖，在六面體中，平面平面，平面，，，.且，.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

(1) 取中點，連接、,通過證明為平行四邊形,可證，且,通過證明為平行四邊形,可證,根據直線與平面平行的判定定理可證面;

(2) 以為坐標原點，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標系后,利用平面的法向量可求得結果.

（1）取中點，連接、,

如圖所示:

∵，為中點，,

∴,

又∵,

∴為平行四邊形,

∴，且,

∵面面，且面面，面面,

∴,

又∵，且,

∴，且,

∴為平行四邊形,

∴,

又∵面，面,

∴面.

（2）以為坐標原點，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，

則，，，.

設平面的法向量為，

∵，，

∴，

∴,

∴,

同理，面的法向量，

∴.

二面角的余弦為.