【題目】已知函數
.
（Ⅰ）求函數
的單調區間；
（Ⅱ）若
恒成立，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）
的單調遞減區間是
，單調遞增區間是
.（2）
【解析】試題分析：（Ⅰ）函數求導
，定義域為
，由
，可得
或
進而討論導函數的正負得函數單調性即可；
（Ⅱ）若
恒成立，只需
即可，討論函數單調性求最值即可.
試題解析：
（Ⅰ）函數
的定義域為
，
.
由
，可得
或
，
當
時， 
在
上恒成立，
所以
的單調遞增區間是
，沒有單調遞減區間；
當
時， 
的變化情況如下表：
所以
的單調遞減區間是
，單調遞增區間是
.
當
時， 
的變化情況如下表：
所以
的單調遞減區間是
，單調遞增區間是
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當
時， 
，符合題意.
當
時， 
的單調遞減區間是
，單調遞增區間是
，
所以
恒成立等價于
，即
，
所以
，所以
.
當
時， 
的單調遞減區間是
，單調遞增區間是
，
所以
恒成立等價于
，即
.
所以
，所以
.
綜上所述，實數
的取值范圍是
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“中國人均讀書4.3本（包括網絡文學和教科書），比韓國的11本、法國的20本、日本的40本、猶太人的64本少得多，是世界上人均讀書最少的國家.”這個論斷被各種媒體反復引用，出現這樣的統計結果無疑是令人尷尬的，而且和其他國家相比，我國國民的閱讀量如此之低，也和我國是傳統的文明古國、禮儀之邦的地位不相符.某小區為了提高小區內人員的讀書興趣，特舉辦讀書活動，準備進一定量的書籍豐富小區圖書站，由于不同年齡段需看不同類型的書籍，為了合理配備資源，現對小區內看書人員進行年齡調查，隨機抽取了一天40名讀書者進行調查，將他們的年齡分成6段： 
， 
， 
， 
， 
， 
后得到如圖所示的頻率分布直方圖.問：
（1）估計在40名讀書者中年齡分布在
的人數；
（2）求40名讀書者年齡的平均數和中位數；
（3）若從年齡在
的讀書者中任取2名，求這兩名讀書者年齡在
的人數
的分布列及數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線
的參數方程為
（
， 
為參數），曲線
的極坐標方程為
.
(1)將曲線
的極坐標方程化為直角坐標方程，并說明曲線
的形狀；
(2)若直線
經過點
，求直線
被曲線
截得的線段的長.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設f(x)是定義域為R的周期函數，最小正周期為2，且
f(1＋x)＝f(1－x)，當－1≤x≤0時，f(x)＝－x.
(1)判斷f(x)的奇偶性；
(2)試求出函數f(x)在區間[－1，2]上的表達式.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義在（0，+∞）上的單調函數f（x），x∈（0，+∞），f[f（x）﹣lnx]=1，則方程f（x）﹣f′（x）=1的解所在區間是 （ ）
A. （2，3） B. 
C. 
D. （1，2）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】函數
圖象上不同兩點
， 
處切線的斜率分別是
， 
，規定
（
為線段
的長度）叫做曲線
在點
與
之間的“彎曲度”，給出以下命題：
①函數
圖象上兩點
與
的橫坐標分別為1和2，則
；
②存在這樣的函數，圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數；
③設點
， 
是拋物線
上不同的兩點，則
；
④設曲線
（
是自然對數的底數）上不同兩點
， 
，且
，若
恒成立，則實數
的取值范圍是
．
其中真命題的序號為__________．（將所有真命題的序號都填上）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某城市隨機抽取一年（365天）內100天的空氣質量指數
（Air Pollution Index）的監測數據，結果統計如下：
|
|
|
|
|
|
| 大于300 |
空氣質量 | 優 | 良 | 輕微污染 | 輕度污染 | 中度污染 | 中度重 污染 | 重度污染 |
天數 | 10 | 15 | 20 | 30 | 7 | 6 | 12 |
（Ⅰ）若本次抽取的樣本數據有30天是在供暖季，其中有7天為重度污染，完成下面
列聯表，并判斷能否有
的把握認為該市本年空氣重度污染與供暖有關？
非重度污染 | 重度污染 | 合計 | |
供暖季 | |||
非供暖季 | |||
合計 | 100 |
| 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
附： 
（Ⅱ）政府要治理污染，決定對某些企業生產進行管控，當
在區間
時企業正常生產；當
在區間
時對企業限產
（即關閉
的產能），當
在區間
時對企業限產
，當
在300以上時對企業限產
，企業甲是被管控的企業之一，若企業甲正常生產一天可得利潤2萬元，若以頻率當概率，不考慮其他因素：
①在這一年中隨意抽取5天，求5天中企業被限產達到或超過
的恰為2天的概率；
②求企業甲這一年因限產減少的利潤的期望值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
，其焦距為2，離心率為
（1）求橢圓
的方程；
（2）設橢圓的右焦點為
， 
為
軸上一點，滿足
，過點
作斜率不為0的直線
交橢圓于
兩點，求
面積
的最大值.
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