Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，，平面平面，點為棱的中點．

（Ⅰ）在棱上是否存在一點，使得平面，并說明理由；

（Ⅱ）當二面角的余弦值為時，求直線與平面所成的角．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（Ⅰ）取的中點，連結、，得到故且，進而得到，利用線面平行的判定定理，即可證得平面.

（Ⅱ）以為坐標原點建立如圖空間直角坐標系，設，求得平面的法向量為，和平面的法向量，利用向量的夾角公式，求得，進而得到為直線與平面所成的角，即可求解.

（Ⅰ）在棱上存在點，使得平面，點為棱的中點．

理由如下：取的中點，連結、，由題意，且，

且，故且.所以，四邊形為平行四邊形.

所以，，又平面，平面，所以，平面.

（Ⅱ）由題意知為正三角形，所以，亦即，

又，所以，且平面平面，平面平面，

所以平面，故以為坐標原點建立如圖空間直角坐標系，

設，則由題意知，，，，

，，

設平面的法向量為，

則由得，令，則，，

所以取，顯然可取平面的法向量，

由題意：，所以.

由于平面，所以在平面內的射影為，

所以為直線與平面所成的角，

易知在中，，從而，

所以直線與平面所成的角為.