Question

已知函數f（x）=log_a（x+1）與g（x）=log_a（-x+1）（a＞0且a≠1）．
（1）若函數f（x）=log_a（x+1）過點（7，3），求g（

7

8

）的值；
（2）當0＜a＜1時，解不等式2f（x）≥g（x）．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數f（x）過點（7，3），便說明該點滿足函數解析式，所以帶入解析式便可求出a．從而求出g（x），然后將

7

8

代入g（x）便求得g（

7

8

）．
（2）把f（x），g（x）帶入不等式2f（x）≥g（x），在根據對數函數在0＜a＜1時的單調性得到不等式

(x+1)2

-x+1

≤3，為使函數f（x），g（x）有意義，再限制x：x+1＞0，且-x+1＞0，解這幾個不等式，便得到原不等式的解．

解答： 解：（1）由題意得：3=log_a8，
∴a³=8，∴a=2；
∴g（

7

8

）=log2(-

7

8

+1)=log22-3=-3．
（2）解不等式2f（x）≥g（x），
即解2log_a（x+1）≥log_a（-x+1），即解loga(x+1)2≥loga(-x+1)；
∵0＜a＜1，∴對數函數y=log_ax是減函數；
∴由loga(x+1)2≥loga(-x+1)得

x+1＞0 -x+1＞0 (x+1)2≤-x+1

；
解得：-1＜x≤0；
∴不等式的解集是（-1，0]．

點評：理解函數曲線上的點的坐標與函數解析式的關系，第二問解不等式時，別忘了限制x使函數f（x），g（x）有意義．