Question

【題目】設函數，其中、為已知實常數，.

下列所有正確命題的序號是____________．　

①若，則對任意實數恒成立；

②若，則函數為奇函數；

③若，則函數為偶函數；

④當時，若，則.

Answer 1

【答案】①②③④.

【解析】

對于①，由，證明函數既是奇函數又是偶函數即可得出；

對于②，根據奇函數的定義可得出結論；

對于③，根據偶函數的定義進行判斷即可得出結論；

對于④，根據得

，于此得出結論.

對于命題①，若，則，

則

，

函數為奇函數，

若，則

，

，

函數為偶函數，

若，則函數既是奇函數，又是偶函數，即，命題①正確；

對于命題②，由①的證明過程可知，當時，函數為奇函數，命題①正確；

對于命題③，由①的證明過程可知，當時，函數為偶函數，命題②正確；

對于命題④，當時，

，

令，

，則，

由輔助角公式得，

其中，，

，則、是函數的兩個對稱中心點，

函數的最小正周期為，該函數的兩個相鄰對稱中心之間的距離為周期的一半，

因此，，命題④正確.

故答案為：①②③④.