Question

已知向量

a

=（f（x），1），向量

b

=（2^x+|x|-1，2^|x|），且滿足

a

∥

b

（1）若f（x）=

15

4

，求x的值；
（2）若2^tf（2t）+mf（t）≥0對于t∈[2，4]恒成立，求實數m的取值范圍．
（3）若2^tf（2t）+mf（t）≥0對于t∈[1，2]有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,平行向量與共線向量

專題：綜合題,不等式的解法及應用

分析：（1）由

a

∥

b

，得f（x）•2^|x|=2^x+|x|-1，由此可求f（x），然后解方程f（x）=

15

4

可得2^x，進而得x；
（2）2^tf（2t）+mf（t）≥0可化為2^t（2^t+2^-t）+m≥0，從而化為[2^t（2^t+2^-t）+m]_min≥0，利用函數單調性易求最小值；
（3）由（2）可知不等式可轉化為[2^t（2^t+2^-t）+m]_max≥0，利用單調性可求最大值；

解答： 解：（1）由

a

∥

b

，得f（x）•2^|x|=2^x+|x|-1，
∴f（x）=2^x-2^-|x|，
∵f（x）=

15

4

，∴2^x-2^-|x|=

15

4

，
可知x＞0，∴2^x-2^-x=

15

4

，
解得2^x=4，∴x=2．
（2）2^tf（2t）+mf（t）≥0，即2^t（2^2t-2^-|2t|）+m（2^t-2^-|t|）≥0，
又t∈[2，4]，
∴2^t（2^2t-2^-2t）+m（2^t-2^-t）≥0，即2^t（2^t+2^-t）+m≥0，
而2^t（2^t+2^-t）+m=2^2t+1+m≥2^2×2+1+m=17+m，
∴17+m≥0，解得m≥-17．
（3）由（2）知，2^tf（2t）+mf（t）≥0對于t∈[1，2]有解，即2^t（2^t+2^-t）+m≥0有解，
當t∈[1，2]時，2^t（2^t+2^-t）+m=2^2t+1+m∈[5+m，17+m]，
∴17+m≥0，解得m≥-17．

點評：該題考查函數恒成立、指數函數的單調性、向量共線的充要條件等知識，考查轉化思想，考查學生分析解決問題的能力．