Question

【題目】如圖,四棱錐的底面是邊長為2的菱形,,平面,點是棱的中點.

（1）證明：平面；

（2）當時,求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接交于點，連接，則，分別為，中點，由三角形中位線定理可得 ,從而可得結論；（2）取線段的中點，先證明垂直于平面，則點到平面的距離即為的長度. 結合A，可得點到平面的距離即為的長度. 由為的中點，可得點到平面的距離即為的長度，利用即可得結果.

（1）如圖，

連接AC交BD于點O，連接MO.

∵M，O分別為PC，AC中點，

∴PA∥MO ,

∵PA不在平面BMD內，MO平面BMD.

∴PA∥平面BMD.

（2）如圖，取線段BC的中點H，連結AH.

∵ABCD是菱形，，∴AH⊥AD.

∵PA⊥平面ABCD，∴AH⊥PA.

又PA∩AD=A，PA，AD平面PAD.

AH⊥平面PAD.∴點H到平面PAD的距離即為AH的長度.

∴BC∥AD，∴點C到平面PAD的距離即為AH的長度.

∵M為PC的中點，∴點M到平面PAD的距離即為AH的長度.

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