【題目】如圖，四棱錐
中側(cè)面
為等邊三角形且垂直于底面
，
，
，
，
是
的中點.
（1）證明：直線
平面；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】
（1）證明四邊形
是平行四邊形，可得
，進而得證.
（2）首先取
的中點
，連接
，根據(jù)題意易證
底面
， 再建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，利用向量的夾角公式即可求得余弦值.
（1）取
的中點
，連接
，
，
∵
是
的中點，∴
，
又
，∴
，
∴四邊形是平行四邊形，
∴
，
又
不在平面
內(nèi)，
在平面內(nèi)，
∴
平面.
（2）取的中點，連接.
因為
，所以
又因為平面
底面
，所以底面.
分別以、所在的直線為
軸和
軸，以底面內(nèi)的中垂線為
軸
建立空間直角坐標(biāo)系，
令
，則
，
因為
是等邊三角形，則
，為的中點，
，
則
，
，
，
∴
，
，
，
設(shè)平面
的法向量為
，平面
的法向量為
，
則
，令
，
，
，令
，故可取
，
∴
，
經(jīng)檢驗，二面角
的余弦值的大小為.
一線名師提優(yōu)試卷系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】《九章算術(shù)》中有如下問題：今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？意思是：今有蒲第一天長高3尺，莞第一天長高1尺，以后蒲每天長高前一天的一半，莞每天長高前一天的2倍．若蒲、莞長度相等，則所需時間為（）
（結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771．）
A.2.6天B.2.2天C.2.4天D.2.8天
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
中，底面
是直角梯形，
，
，
，側(cè)面
是等腰直角三角形，
，平面
平面，點
分別是棱
上的點，平面
平面
（Ⅰ）確定點的位置，并說明理由；
（Ⅱ）求三棱錐
的體積.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】下列說法中錯誤的是
①命題“
，有
”的否定是“
，都有
”；
②若一個命題的逆命題為真命題，則它的否命題也一定為真命題；
③已知
為假命題，則實數(shù)
的取值范圍是
；
④我市某校高一有學(xué)生
人，高二有學(xué)生
人，高三有學(xué)生
人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從該校抽取
個學(xué)生作為樣本進行某項調(diào)查，則高三被抽取的學(xué)生個數(shù)為
人.
A. ①④ B. ①③④ C. ②④ D. ①②
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】平面上有12個點,且任意三點不共線,以其中任意一點為始點,另一點為終點作向量,且作出所有的向量.其中3邊向量的和為零向量的三角形稱為“零三角形”.求以這些點為頂點的“零三角形”個數(shù)的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了解使用手機是否對學(xué)生的學(xué)習(xí)有影響，某校隨機抽取100名學(xué)生，對學(xué)習(xí)成績和使用手機情況進行了調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示（不完整）：
使用手機 | 不使用手機 | 總計 | |
學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀 | 10 | 40 | |
學(xué)習(xí)成績一般 | 30 | ||
總計 | 100 |
（Ⅰ）補充完整所給表格，并根據(jù)表格數(shù)據(jù)計算是否有99.9%的把握認為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績與使用手機有關(guān)；
（Ⅱ）現(xiàn)從上表不使用手機的學(xué)生中按學(xué)習(xí)成績是否優(yōu)秀分層抽樣選出6人，再從這6人中隨機抽取3人，記這3人中“學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀”的人數(shù)為
，試求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
參考公式：
，其中
.
參考數(shù)據(jù)：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】經(jīng)統(tǒng)計，某校學(xué)生上學(xué)路程所需要時間全部介于
與
之間（單位：分鐘）．現(xiàn)從在校學(xué)生中隨機抽取
人，按上學(xué)所學(xué)時間分組如下：第
組
，第
組
，第
組
，第
組
，第
組
，得打如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求
的值．
（Ⅱ）若從第，，組中用分成抽樣的方法抽取
人參與交通安全問卷調(diào)查，應(yīng)從這三組中各抽取幾人？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若從這人中隨機抽取人參加交通安全宣傳活動，求第組至少有人被抽中的概率．
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