Question

【題目】已知函數．

（1）當時，若存在，使得，求實數的取值范圍；

（2）若為正整數，方程的兩個實數根滿足，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）11．

【解析】試題分析：（1）存在，使得等價于在上有兩個不等實根，或在上有兩個不等實根，結合二次函數的頂點在直線下方或上方列不等式組求解即可；（2）利用一元二次方程方程根的分別，列不等式組，根據為正整數，先初步判斷的范圍，再利用分類討論思想求解即可.

試題解析：（1）當時，

由題意可知， 在上有兩個不等實根，或在上有兩個不等實根，則或,

解得或

即實數的取值范圍是或.

（2）設，則由題意得，即 ，

所以，由于

①當時， ，且無解，

②當時， ，且，于是無解，

③當時， ，且，由，得，此時有解，

綜上所述， ，當時取等號，即的最小值為11．