【題目】已知數列
， 
， 
， 
滿足
，且當
時， 
，令
．
（Ⅰ）寫出
的所有可能的值．
（Ⅱ）求
的最大值．
（Ⅲ）是否存在數列
，使得
？若存在，求出數列
；若不存在，說明理由．
【答案】（1）
， 
， 
， 
， 
;（2）
;（3）見解析.
【解析】試題分析：(Ⅰ)由題設可知當i=5時，可得滿足條件的數列
的所有可能情況;
(Ⅱ)確定當
， 
， 
的前
項取
，后
項取
時
最大,此時
.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可以知道,如果
， 
， 
的前
項中恰有
項， 
， 
， 
取
， 
， 
， 
的后
項中恰有
項
， 
， 
取
,則
,利用條件,分n是奇數與偶數,即可得到結論.
試題解析：（
）有題設，滿足條件的數列
的所有可能情況有：
①
， 
， 
， 
， 
，此時
；
②
， 
， 
， 
， 
，此時
；
③
， 
， 
， 
， 
，此時
；
④
， 
， 
， 
， 
，此時
；
⑤
， 
， 
， 
， 
，此時
；
⑥
， 
， 
， 
， 
，此時
．
∴
的所有可能的值為
， 
， 
， 
， 
．
（
） 由
，可設
，則
或
．
∵
，∴
．
∵
，
∴
，且
為奇數， 
， 
是由
個
和
個
構成數列．
∴
．
則當
， 
， 
的前
項取
，后
項取
時
最大，
此時
．
證明如下：
假設
， 
的前
項中恰有
項
， 
， 
取
，則
， 
， 
的后
項中恰有
項
， 
取
，其中
， 
， 
， 
， 
， 
．
∴
．
∴
的最大值為
．
（
）由（
）可知，如果
， 
， 
的前
項中恰有
項， 
， 
， 
取
， 
， 
， 
的后
項中恰有
項
， 
， 
取
，則
，若
，
則
．
∵
是奇數，∴
是奇數，而
是偶數．
∴不存在數列
，使得
．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解春季晝夜溫差大小與某種子發芽多少之間的關系，現在從4月份的30天中隨機挑選了5天進行研究，且分別記錄了每天晝夜溫差與每天100顆種子浸泡后的發芽率，得到如下表格：
（1）從這5天中任選2天，記發芽的種子數分別為
，求事件“
均不小于25” 的概率；
（2）從這5天中任選2天，若選取的是4月1日與4月30日的兩組數據，請根據這5天中的另3天的數據，求出
關于
的線性回歸方程
；
（3）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得到的線性回歸方程是否可靠？
參考公式： 
， 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們日平均增加的睡眠時間(單位：h)．試驗的觀測結果如下：
服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分別計算兩組數據的平均數，從計算結果看，哪種藥的療效更好？
(2)根據兩組數據繪制莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，則（ⅰ）
____________．
（ⅱ）給出下列三個命題：①函數
是偶函數；②存在
，使得以點
為頂點的三角形是等腰三角形；③存在
，使得以點
為頂點的四邊形為菱形．
其中，所有真命題的序號是____________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
過點
，過右焦點且垂直于
軸的直線截橢圓所得弦長是1．
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）設點
分別是橢圓的左，右頂點，過點
的直線
與橢圓交于
兩點（與不重合），證明：直線
和直線
交點的橫坐標為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
的定義域為
，值域為
，即
，若
，則稱
在
上封閉.
（1）分別判斷函數
， 
在
上是否封閉，說明理由；
（2）函數
的定義域為
，且存在反函數
，若函數
在
上封閉，且函數
在
上也封閉，求實數
的取值范圍；
（3）已知函數
的定義域為
，對任意
，若
，有
恒成立，則稱
在
上是單射，已知函數
在
上封閉且單射，并且滿足
，其中
（
），
，證明：存在
的真子集， 
，使得
在所有
（
）上封閉.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】近年來，我國“霧霾天氣”頻發，嚴重影響人們的身體健康．根據空氣質量指數API(為整數)的不同，可將空氣質量分級如下表：
API | 0～50 | 51～100 | 101～150 | 151～200 | 201～250 | 251～300 | >300 |
級別 | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ1 | Ⅲ2 | Ⅳ1 | Ⅳ2 | Ⅴ |
狀況 | 優 | 良 | 輕微污染 | 輕度污染 | 中度污染 | 中度重污染 | 重度污染 |
|
|
|
|
| |||
對某城市一年(365天)的空氣質量進行監測，獲得的API數據按照區間[0，50]，(50，100]，(100，150]，(150，200]，(200，250]，(250，300]進行分組，得到頻率分布直方圖如圖．
(1)求頻率分布直方圖中x的值；
(2)計算一年中空氣質量分別為良和輕微污染的天數．
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