Question

【題目】已知常數，向量， ，經過點，以為方向向量的直線與經過點，以為方向向量的直線交于點，其中．

（）求點的軌跡方程，并指出軌跡．

（）若點，當時， 為軌跡上任意一點，求的最小值．

Answer 1

【答案】（），軌跡見解析（）

【解析】試題分析：

（1）由題意求得直線的方程，消去參數可得點的軌跡方程為，通過對的討論可得軌跡可能為圓、焦點在x軸上的橢圓或焦點在y軸上的橢圓。（2）當時，軌跡的方程為，設點

,根據兩點間的距離可得，故當時， 取得最小值。

試題解析：

（）由題意得，

∴直線的方程為： ①，

又，

∴直線的方程為： ②，

由①，②消去參數得，

整理得，

故點的軌跡方程為．

當時，軌跡是以為圓心，半徑為的圓；

當時，軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓；

當時，軌跡是以為焦點，長軸長為4的橢圓．

（）當時，軌跡的方程為，

∵為軌跡是任意一點，

∴設點，

則

∵，

∴當時， 取得最小值．