Question

【題目】如圖，一幅壁畫的最高點(diǎn)處離地面米，最低點(diǎn)處離地面米.正對(duì)壁畫的是一條坡度為的甬道（坡度指斜坡與水平面所成角的正切值），若從離斜坡地面米的處觀賞它.

（1）若對(duì)墻的投影（即過作的垂線垂足為投影）恰在線段（包括端點(diǎn)）上，求點(diǎn)離墻的水平距離的范圍；

（2）在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)離墻的水平距離為多少時(shí)，視角（）最大？

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)離墻的水平距離的范圍為：；（2）當(dāng)點(diǎn)離墻的水平距離為1m時(shí)，視角（）最大.

【解析】

（1）如圖所示：設(shè)，利用平行線成比例定理，結(jié)合銳角三角函數(shù)正切的定義進(jìn)行求解即可；

（2）利用兩角和的正切公式、結(jié)合正切的定義，求出的表達(dá)式，利用換元法、基本不等式進(jìn)行求解即可.

（1）如圖所示：設(shè)，顯然有，因此有

，由,可得：，化簡(jiǎn)得：，因?yàn)?/span>，所以，即點(diǎn)離墻的水平距離的范圍為：

；

（2）

,

因?yàn)?/span>，所以有，代入上式化簡(jiǎn)得：

，

因?yàn)?/span>，所以有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)，取等號(hào)），因此有，因此當(dāng)點(diǎn)離墻的水平距離為1m時(shí)，視角（）最大.