Question

【題目】如圖，在四棱錐中，與交于點，，，.

（Ⅰ）在線段上找一點，使得平面，并證明你的結論；

（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（I）取線段上靠近的三等分點，連接，因為，，所以，由，得，所以，即可證明結論成立.

（II）以為坐標原點，以直線分別為軸，過點且與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量為，平面的個法向量為，由向量法即可求出二面角的平面角.

（I）取線段上靠近的三等分點，連接.因為，，所以,所以.而，所以，所以.而平面.平面，故平面.

（II）易知 為等邊三角形，所以.又，故，所以有.由已知可得，又，所以平面.以為坐標原點，以直線分別為軸，過點且與平面垂直的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

設，則，所以，，，，則，，，.

設平面的一個法向量為，則有即

設，則，所以.

設平面的個法向量為，則有即

令，則，所以.

所以.

因為二面角為銳角，故所求二面角的余弦值為.