Question

已知函數f（x）=ke^x-x²（其中k∈R，e是自然對數的底數）．
（Ⅰ）若k＜0，試判斷函數f（x）在區間（0，+∞）上的單調性；
（Ⅱ）若k=2，當x∈（0，+∞）時，試比較f（x）與2的大小；
（Ⅲ）若函數f（x）有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂），求k的取值范圍，并證明0＜f（x₁）＜1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數f′（x），由于f′（x）＜0，即得f（x）在區間（0，+∞）上單調遞減；
（Ⅱ）根據導函數即可判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，由單調性即可比較f（x）與2的大小；
（Ⅲ）先求導數f′（x），由題意知x₁、x₂是方程f′（x）=0的兩個根，令φ(x)=

2x

ex

，利用導數得到函數φ（x）的單調區間，繼而得到k的取值范圍，由f′（x₁）=0，則得k=

2x1

ex1

，又由f（x₁）=-（x₁-1）²+1，x₁∈（0，1），即可得到0＜f（x₁）＜1．

解答：解：（Ⅰ）由f′（x）=ke^x-2x可知，
當k＜0時，由于x∈（0，+∞），f′（x）=ke^x-2x＜0，
故函數f（x）在區間（0，+∞）上是單調遞減函數．
（Ⅱ）當k=2時，f（x）=2e^x-x²，則f′（x）=2e^x-2x，
令h（x）=2e^x-2x，h′（x）=2e^x-2，
由于x∈（0，+∞），故h′（x）=2e^x-2＞0，
于是h（x）=2e^x-2x在（0，+∞）為增函數，
所以h（x）=2e^x-2x＞h（0）=2＞0，即f′（x）=2e^x-2x＞0在（0，+∞）恒成立，
從而f（x）=2e^x-x²在（0，+∞）為增函數，
故f（x）=2e^x-x²＞f（0）=2．
（Ⅲ）函數f（x）有兩個極值點x₁，x₂，則x₁，x₂是f′（x）=ke^x-2x=0的兩個根，
即方程k=

2x

ex

有兩個根，設φ(x)=

2x

ex

，則φ′(x)=

2-2x

ex

，
當x＜0時，φ′（x）＞0，函數φ（x）單調遞增且φ（x）＜0；
當0＜x＜1時，φ′（x）＞0，函數φ（x）單調遞增且φ（x）＞0；
當x＞1時，φ′（x）＜0，函數φ（x）單調遞減且φ（x）＞0．
要使k=

2x

ex

有兩個根，只需0＜k＜φ(1)=

2

e

．
故實數k的取值范圍是(0，

2

e

)．
又由上可知函數f（x）的兩個極值點x₁，x₂滿足0＜x₁＜1＜x₂，
由f′(x1)=kex1-2x1=0，得k=

2x1

ex1

，
∴f(x1)=kex1-

x

2 1

=

2x1

ex1

ex1-

x

2 1

=x1(2-x1)=-

x

2 1

+2x1=-(x1-1)2+1，
由于x₁∈（0，1），故0＜-(x1-1)2+1＜1，
所以0＜f（x₁）＜1．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、二次函數的值域、不等式的求解，考查學生解決問題的能力，屬中檔題．