Question

已知z是復(fù)數(shù)，z+2i、

z

2-i

均為實(shí)數(shù)（i為虛數(shù)單位），
（1）若復(fù)數(shù)（z+ai）²在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）若復(fù)數(shù)z₁=cosθ+isinθ（0≤θ≤π），求復(fù)數(shù)|z-z₁|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：利用已知條件求出復(fù)數(shù)z，（1）列出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部滿足的不等式，求出范圍即可．
（2）利用復(fù)數(shù)模求解三角函數(shù)的最值即可．

解答： 解：z是復(fù)數(shù)，z+2i、

z

2-i

均為實(shí)數(shù)，
設(shè)z=x-2i，則

x-2i

2-i

=

(x-2i)(2+i)

(2-i)(2+i)

=

2x+2+(x-4)i

5

，∴x=4．
z=4-2x．
（1）復(fù)數(shù)（z+ai）²=（4-2i+ai）²=16-（2-a）²-8（2-a）i．
復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限．

12+4a-a2＞0 8a-16＞0

，解得2＜a＜6．
（2）復(fù)數(shù)z₁=cosθ+isinθ（0≤θ≤π），
復(fù)數(shù)|z-z₁|=|4-2i-cosθ-isinθ|=

(4-cosθ)2+(-2-sinθ)2

=

21+4sinθ-8cosθ

=

21+4 5 sin(θ+γ)

．tanγ=-2，2

5

-1≤

21+4 5 sin(θ+γ)

≤2

5

+1．
復(fù)數(shù)|z-z₁|的取值范圍：[2

5

-1，2

5

+1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的基本概念的應(yīng)用以及復(fù)數(shù)的模的求法．